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投资学、核物理与随机矩阵(二)


2020-07-11


投资学、核物理与随机矩阵(二)

Figure0. 我们对角化了 100 个 500 * 500 的对称矩阵,矩阵元素都是常态分布 N(0,1)随机产生的,我们将光谱的分布画成直方图,发现这个分布形成了半圆。

在前文中笔者尝试说服读者,投资的策略是可以利用数学去优化的。但即便只针对随机过程,依旧有太多工具可以选择。本系列文将侧重于随机矩阵这个例子,日后有机会再聊聊其他的工具。而选择随机矩阵的原因乃在于这个数学分支一部分的重要贡献来自于核物理的研究。

在本文中,我们将回顾随机矩阵在核物理发展中产生的助力,并在下篇拉回近代,说明这些想法怎幺被使用到财务问题中。

时间拉回到 1950 年代,物理学家们在核物理的实验中观察到许多光谱线。这里的光谱线的概念和高中化学的氢原子光谱是一样的。简而言之,薛丁格方程式会决定一个系统(比如说氢原子)允许具备的稳定状态与这个状态具备的能量有哪些,当系统从一个状态跳到另一个状态,两状态之间的能量差以电磁波的方式释放并被实验观察到,便是光谱。

实验上,对于光谱的了解有助于我们回推一个系统可能具备的结构。(譬如当初庖立(W. Pauli )便是从茫茫光谱之中了解并提出了庖立不相容原理,这种观察力直到今日依旧犀利得可怕。)

但人们对于当时从慢中子共振实验蒐集到的钍 232、铀 238 光谱,一时间其实没有太好的分析点子。核子内的能量结构一直是很错综複杂的。尤其在慢中子的实验中,如果入射中子的能量解析度不是很高,它将不会只激发其中一个或两个能阶 — 反之,一次就会有一大堆能阶被激发。也因此,部分的精力就被集中在研究光谱线的统计性质上。

那好,我们是不是就坐下乖乖地解薛丁格方程式,然后对它们的能谱进行统计分析就好了呢?很可惜,别说一般性的薛丁格方程複杂得无从解起,在这类核物理的问题中,我们甚至不知道精确的微观物理有哪些要素。

面对这种无从着手的问题,着名数学物理学家 F. Dyson 当时的点子是 — 那我就考虑一些一般性的矩阵,而这些矩阵的元素都是随机变数,唯一的物理限制来自于物理模型应该具备的对称性。在群论中,具有不同对称性的矩阵们会被分类到不同堆。由于这种考虑的一般性,如果有任何结论可以被推导出来,那幺这些结论虽然无法告诉我们最微观的细节,但统计性的结论应该要可以适用到所有具备这样对称性的模型内。

这种陈述,对日常生活而言,还是有点抽象。让我们更具体一点来看一个当时人们尝试回答的问题。

如前言所述,我们在研究光谱线。乍看之下,实验中得到的光谱线的位置分布并没有什幺规律。统计上一个可以问的问题是,不同线之间的距离是怎幺分布的。白话(约略)一点说,如果我在能量 E 的地方有一条光谱线,那幺距离这个点 S 单位能量内都没有另外一条光谱线的机率 是多少?

倘若我们假设不同能阶之间是没有统计上的关联的,那幺有上过三类组的大一微积分(或不小心学了大学部的机率与统计)的读者们会发现这是个 Poisson 过程。具体是什幺也不那幺重要,重点是它已经被这个法国人解了,所以我们知道答案的长相,如图一。

但可惜,如果我们把 Poisson 过程的解拿去与实验统计的数字比对,实在相去甚远。但至少我们从中得到了一个结论:至少在具有相同量子数的那堆能阶间,它们是有统计关联的,那幺下一个问题就是,有没有一个简单好懂的模型让我们懂这个关联?

笔者所知道最简单的例子是所谓的高斯系综(Gaussian ensemble),而在诸多高斯系综中,最简单的例子是高斯正交系综(Gaussian orthogonal ensemble,GOE)。读者完全不用去追究这些单字的意思,这类矩阵的意思是,有一堆实数对称矩阵,它们的矩阵元素由常态分布给出。实数、对称矩阵、跟常态分布,整个难度一下回到了高三数学。仅仅分析这类矩阵的能谱就还满有趣的,譬如它们的能谱分布会被侷限在一个半圆之中(见图零),这也是有名的半圆律(semi-circle law)。

投资学、核物理与随机矩阵(二)

Figure1. 若能阶之间没有统计关联而遵守 Poisson 分布,光谱线间的距离应有的分布。(photo credit: 作者自摄)

1951 年,透过对几个简单的高斯系综的计算,物理学家 E. Wigner 提出了着名的 Wigner surmise ,并推测了前述的  应该有的形式— 并不是 Poisson 过程,而是如图二所示。值得注意的是,这个新的分布在原点为零: ,意指了两个能阶间会避免交会,这种现象是量子系统的一个特徵。

近 70 年后的今日回顾这段历史其实还颇有趣的。由后来的统计分析,我们得知没有任何一种高斯系综可以完美符合核物理光谱的能隙分布,另一方面,当我们真的用高斯正交系综进行计算,Wigner surmise 也只準确到大概 95% 的程度。(不过以猜答案的观点来说,在定量上这已经準确得骇人了。) 然而这些研究在随机矩阵的发展依旧起了根本性的冲击。紧接着在下一篇,我将跟大家分享这种分析手法如何被应用在了解金融数据的问题上。

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Figure2. Wigner surmise 所提出的光谱线间距的分布。(photo credit: 作者自绘)


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